AP: どうやら分母は一般には2次式の$n$乗までしか分解できないらしいので、書き直したい。
$$ \frac{\alpha x + \beta}{(ax + b)(cx + d)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d} $$
$A, B$は以下で決めればよい:
$$ A(cx + d) + B(ax + b) = \alpha x + \beta $$
$x = -b/a$をいれると$A$が求まり、$x = -d/c$を入れると$B$が求まる。
以下のように項が3項以上でも同様に解ける:
$$ \frac{\alpha x^2 + \beta x + \gamma}{(ax + b)(cx + d)(ex + f)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d} + \frac{C}{ex + f} $$
分子の次数が分母の次数以上の場合は、くくりだして分子の次数を分母より下げた後に部分分数分解を使えばよい。例:
$$ \frac{4x^2 + 12x + 10}{(x+1)(x+2)(x+3)} $$
$$ \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{1}{x^2 - 1} $$
$a$を実数として:
$$ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} =\frac{1}{2a} \log \left( \frac{x - a}{x + a} \right) + C \tag{1} $$
$$ \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C $$