1階微分:
$$ \frac{df}{dx}, \partial f, f' $$
dはイタリック体で良いことにする。
$D$よりは$\partial$の方が良い気がしたので、$\partial$を使ていくことにする。
$\frac{d}{dx} f$よりは$\frac{df}{dx}$で書く。
高階微分:
$$ \frac{d^nf}{dx^n}, \partial^n f, f^{(n)} $$
偏微分:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}, \partial_x f, f_x $$
TMP: $u_x$などの記号を使うときは、その意味を都度説明してから使うことにするのが良いかもしれない。
$x$が明示的に含まれた関数記述に対して適用するとき:
$$ \frac{d}{dx} f(x) $$
言いたいのは、例えば$x^2 + 1$を$x$で微分するのを
$$ \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x $$
のように書くということ。
$$ (fg)' = f'g + fg' \tag{1} $$
$$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \tag{2} $$
証明: 左辺は式（1）より:
$$ f' \frac{1}{g} + f \left(\frac{1}{g}\right)' $$
これと以下より明らか:
$$ \left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2} $$