AP: 微分記号の分母はxの右側にn乗を書く。

Legendre多項式

定義

Legendre多項式:

$$ P_n(x) := \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}{\frac{(-1)^k (2n - 2k)!}{k! (n - k)! (n - 2k)!} x^{n - 2k}} \tag{1} $$

定義域は$|x| \le 1$。Legendre関数とも言う。$n$は非負整数。

Rodriguesの公式

$$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d^n x}(x^2 - 1)^n \tag{2} $$

証明

右辺は2項展開より:

$$ \begin{aligned} &= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d^n x} \left[\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n - k)! k!} (-1)^k x^{2(n - k)}\right]\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{(n - k)! k!} (-1)^k \frac{(2n - 2k)!}{(n - 2k)!} x^{n - 2k} \end{aligned} $$

数式（1）より:

$$ = P_n (x) $$

微分方程式

$y=P_n (x)$として:

$$ (1-x^2) y'' - 2 x y' + n(n + 1) y = 0 \tag{3} $$

証明

$$ z:=(x^2 - 1)^n \tag{4} $$

$$ z'=2nx(x^2 - 1)^{n-1} $$