<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 第$n$項（$n=0, 1, \ldots$）が
$$ \sum_{k = 0}^n a_k (x - c)^k = c_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + \cdots + a_n(x - c)^n $$
の形の関数列を、べき級数と呼ぶ。
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以下では表記の簡便さのために$c = 0$の形で書くことも多いが、その場合でも$c \ne 0$で考え直すことは容易。
整級数ともいう。
べき級数については原則として$n$を0から始めることにする。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> べき級数には収束半径と呼ばれる$r$（$0 \le r \le \infty$）が存在し:
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: AP: アーベルの補題から証明を書く。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> べき級数が$x = x_0$（ただし$x_0 \ne c$）で収束するなら、$|x - c| < |x_0 - c|$の$x$では絶対収束する。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 絶対値をとったべき級数を考える:
$$ \sum_{k = 0}^n \left| a_k (x - c)^k \right| = \sum_{k = 0}^n \left| a_k (x_0 - c)^k \frac{(x - c)^k}{(x_0 - c)^k} \right| \tag{A} $$
$x = x_0$で収束するので:
$$ \lim_{n \to \infty} a_n (x_0 - c)^n = 0 $$
よって、ある$M$があり:
$$ \left| a_n (x_0 - c)^n \right| < M \quad (\forall n) $$
よって、式（A）は:
$$ ＜ M \sum_{k = 0}^n \frac{|x - c|^k}{|x_0 - c|^k} $$
ここで
$$ \gamma := \frac{|x - c|}{|x_0 - c|} $$
とすると$\gamma < 1$なので:
$$ = M \frac{1}{1 - \gamma} $$
よって、式（A）は収束する。
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べき級数$\sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$の収束半径$r$についての判定法。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> ダランベールの判定法:
$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = \frac{1}{r} \tag{1} $$
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> コーシーの判定法:
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{r} $$
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いずれも左辺が存在するときに使える公式。左辺が$0, \infty$の場合でも成り立つ（それぞれ$r=\infty, 0$となる）。
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> ダランベールの判定法の証明: $\sum_{n = 0}^\infty |a_n x^n|$について、級数としての一般項は$|a_nx^n|$。
数式（1）より:
$$ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1} x^{n + 1}}{a_n x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| |x| = \frac{|x|}{r} $$
よって、ダランベールの判定法 より$|x| < r$では絶対収束し、$|x| > r$では絶対収束しない。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> コーシーの判定法の証明: コーシーの判定法 より、上記のダランベールの判定法の証明と同様に示せる。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 収束半径内で広義一様収束する。
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