関数$f(x)$、実数$a$について考える。

集積点

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 実数の集合$S$について、$a$が$S$の集積点とは、任意の$\epsilon > 0$に対してある$x \in S$がとれて

$$ 0 < |x - a| < \epsilon $$

とできること。

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ここで必ずしも$a \in S$でないことに注意。例えば開区間$(0, 1)$では$0, 1$も集積点。

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 実数の集合$S$について、$a$が$S$の孤立点とは、$a \in S$で$a$が$S$の集積点でないこと。

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極限

定義

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 任意の$\epsilon > 0$に対してある$\delta$がとれて、任意の$0 < |x - a| < \delta$なる$x$に対して

$$ |f(x) - \alpha| < \epsilon $$

とできるとき、$\alpha$を極限と呼び、以下で表す:

$$ \alpha = \lim_{x \to a} f(x) $$

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上定義で、$a$は$\operatorname{dom} f$の集積点であるとする。また「$0 < |x - a| < \delta$なる$x$」は正確には「$x \in \operatorname{dom} f$で$0 < |x - a| < \delta$なる$x$」であるが、そもそも$x \notin \operatorname{dom} f$ではそのあとの$|f(x) - \alpha| < \epsilon$が評価できないため、$x \in \operatorname{dom} f$は明示的に書かなかった。この後も適宜同様な略記を行う。

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 任意の$\epsilon > 0$に対してある$\delta$がとれて、任意の$0 < x - a < \delta$なる$x$に対して

$$ |f(x) - \alpha| < \epsilon $$

とできるとき、$\alpha$を右極限と呼び、以下で表す:

$$ \alpha = \lim_{x \to a + 0} f(x) $$

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上定義で、$a$は$\operatorname{dom} f \setminus (\infty, a]$の集積点であるとする。

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 右極限と同様に左極限も定義され、以下で表す:

$$ \alpha = \lim_{x \to a - 0} f(x) $$

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性質

参考: 以下の命題は、選択公理を使わないと証明できないので、ここでは考えないで進めてみることにする:

<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 選択公理を使わないと示せない命題: 任意の

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = x_0 $$

を満たす数列$a_n$について

$$ \lim_{n \to \infty} f(a_n) \to \alpha $$

なら:

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \alpha $$

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連続

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 以下のとき、関数$f(x)$は$a$で連続という:

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

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上定義で、関数は$a \in \operatorname{dom}f$でかつ$a$は$\operatorname{dom} f$の集積点であるとする。

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 実数の集合$S$について、$S$上の任意の$x$について、関数$f(x)$が$x$で連続のとき、関数$f(x)$は$S$上で連続であるという。

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上定義で$S$は、$S$上の任意の$x$について、$x$が$\operatorname{dom} f$の集積点であるものを考える。