TMP: いろいろな特殊関数が超幾何関数を使って書けるのだが、だからといってそれが実用上どう使えるのかというと、あまり使えないような気がしている。なので、トリビア程度で見ておけばよいのかもしれない。

ポッホハマー記号

$$ \begin{aligned} (x)_n &:= (x)(x + 1) \cdots (x + n - 1) \\ (x)_0 &:= 1 \end{aligned}\tag{1} $$

組み合わせ論では上記のような昇冪ではなく、降冪の定義となる:

$$ (x)_n := (x)(x - 1) \cdots (x - n + 1) $$

特殊関数論の時と組み合わせ論で、異なる意味になるのは紛らわしいのだが、慣習に従い式（1）の定義を用いる。

以下の略記も導入する:

$$ (x_1, x_2, \ldots, x_r)_n := (x_1)_n (x_2)_n \cdots (x_r)_n \tag{1.1} $$

定義

一般化された超幾何関数:

$$ r F_s (a_1, \ldots, a_r; b_1, \ldots, b_s; x) = \sum{n = 0}^\infty \frac{(a_1)_n \cdots (a_r)_n}{(b_1)_n \cdots (b_s)_n} \frac{x^n}{n!} \tag{2} $$

セミコロンは適宜カンマで書いても良いことにする。

$a_1, \ldots, a_r$のいずれかがマイナスの整数の場合、ある$n$以降で分母が$0$になるので、有限項で打ち切られる。

超幾何級数といった方がより正確かもしれないが、ここでは超幾何関数と呼ぶことにする。

多くの特殊関数は一般化された超幾何関数を使って書くことができる。

微分方程式

般化された超幾何関数$_r F_s$は、以下の一般化超幾何微分方程式の解:

$$ \left[ \partial_x \prod_{j=1}^s \left( b_j - 1 + x \partial_x \right) - \prod_{k=1}^r \left( a_k + x \partial_x \right) \right] y = 0 \tag{2.1} $$

証明: 式（2）より

$$ \left[ \partial_x \prod_{j=1}^s \left( b_j - 1 + x \partial_x \right)\right] \sum_{n = 0}^\infty \frac{(a_1, \ldots, a_r)n}{(b_1, \ldots, b_s)n} \frac{x^n}{n!} = \left[ \prod{k=1}^r \left( a_k + x \partial_x \right) \right] \sum{n = 0}^\infty \frac{(a_1, \ldots, a_r)_n}{(b_1, \ldots, b_s)_n} \frac{x^n}{n!} \tag{A} $$

が示せればよい。ここで式（1.1）の略記を用いている。右辺は$x\partial_x x^n = nx$より:

$$ \sum_{n = 0}^\infty \left[ \prod_{k=1}^r \left( a_k + n \right) \right] \frac{(a_1, \ldots, a_r)n}{(b_1, \ldots, b_s)n} \frac{x^n}{n!} = \sum{n = 0}^\infty \frac{(a_1, \ldots, a_r){n + 1}}{(b_1, \ldots, b_s)_n} \frac{x^n}{n!} \tag{B} $$

式（A）の左辺は:

$$ \sum_{n = 0}^\infty \left[ \frac{n}{x} \prod_{j=1}^s \left( b_j - 1 + n \right)\right] \frac{(a_1, \ldots, a_r)_n}{(b_1, \ldots, b_s)_n} \frac{x^n}{n!} $$

$n = 0$では

$$ \left[ \frac{0}{x} \prod_{j=1}^s \left( b_j - 1 + 0 \right)\right] \frac{1}{1} \frac{x^0}{0!} = 0 $$

より、和は実質的に$n=1$からなので:

$$ = \sum_{n = 1}^\infty \left[ \frac{n}{x} \prod_{j=1}^s \left( b_j - 1 + n \right)\right] \frac{(a_1, \ldots, a_r)n}{(b_1, \ldots, b_s)n} \frac{x^n}{n!} = \sum{n = 0}^\infty \left[ \frac{n + 1}{x} \prod{j=1}^s \left( b_j - 1 + n + 1 \right)\right] \frac{(a_1, \ldots, a_r){n + 1}}{(b_1, \ldots, b_s){n + 1}} \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(a_1, \ldots, a_r)_{n + 1}}{(b_1, \ldots, b_s)_n} \frac{x^n}{n!} $$

これは式（B）と一致している。

収束半径

収束半径は:

$$ R = \begin{cases} \infty \quad (r < s + 1) \\ 1 \quad (r = s + 1) \\ 0 \quad (r > s + 1) \\ \end{cases} \tag{3} $$