TMP: 運動方程式を解くという意味ではラグランジュ形式で十分。ハミルトン形式は統計力学や量子力学で使うという意味で見ておく必要がある（あとは、系の性質を議論するのに使える場合がある？ここはよくわからない）。

TMP: ラグランジュアンは時間で変化するが、ハミルトニアンは時間変化しない、この性質があるので、正準変換で変数をハミルトニアンに含まれない形にする、などの議論ができる。これはラグランジュアンに対する一つのメリットなのかな。

TMP: ハミルトニアンに形式は1回微分しか現れないので良いという話があるが、別に$\dot{q}$を一つの変数とみればラグランジュ形式も1階微分だけで考えられそうな気もする？

ハミルトニアン

共役運動量:

$$ p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \tag{7} $$

ハミルトニアン:

$$ H := \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i - L \tag{8} $$

ハミルトンは$\bm{p}, \bm{q}$の関数とみる（$\bm{\dot{p}}$は、$L$の中に現れるものも含めて、式（7）を使って$\bm{p}, \bm{q}$で表しておく）。

これはルジャンドル変換になっている。

正準方程式

$$ \begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial q_i} &= -\dot{p}_i \\ \frac{\partial H}{\partial p_i} &= \dot{q}_i \end{aligned} \tag{9} $$

<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 第1式の導出: 左辺は式（8）より:

$$ = \sum_j p_j \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} - \sum_j \left( \frac{\partial L}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} \right) $$

式（7）より:

$$ = - \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i} $$

オイラーラグランジュ方程式より:

$$ =-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} $$

これと式（7）による。

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 第1式の導出: 左辺は式（8）より:

$$ = \dot{q}_i + \sum_j p_j\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i} - \sum_j \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i} \right) $$

これと式（7）による。

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ポアソン括弧

定義

$$ \{ A, B \} := \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right) $$

任意の$\bm{q}, \bm{p}$の関数$F$について、$\bm{q}(t), \bm{p}(t)$が運動方程式の解の時、$F(\bm{q}(t), \bm{p}(t))$の時間微分は:

$$ \frac{dF}{dt} = \{F, H \} $$

<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 導出: 左辺は、チェーンルールより:

$$ = \sum_i \left( \frac{\partial F}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) $$

‣ より:

$$ = \sum_i \left( \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) $$

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