第1種ベッセル関数:
$$ J_n(x) := \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! (n + k)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k + n} \tag{1} $$
$n$が非整数の場合は$(n+k)!$はガンマ関数とする。
$n$が負の整数の場合: ガンマ関数は負の整数$m$については
$$ \lim_{x \to m} \frac{1}{\Gamma(x)} = 0 $$
なことから、式（1）右辺の$k$の足し上げは$k >= |n|$から始まると定義する。
コード:
$J_n$は、以下のベッセルの微分方程式を満たす:
$$ x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0 \tag{2} $$
AP: 証明する。というかフロベニウスの方法でベッセル関数を導出した方が良いかも？
$n$が整数の場合:
$$ J_n(x) = \frac{1}{2 \pi} \int _{-\pi}^\pi e^{i(nt - x \sin t)} dt $$
$n$が整数なら:
$$ J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) $$
$n$が整数なら:
$$ x^n J_{n - 1} (x) = \partial_x (x^n J_n(x)) \tag{3} $$