積分範囲は、証明中の式変形の途中では、前後から考えてあいまいさがない場合省略可とする（特に$-\infty$から$\infty$の場合）。
積分変数を表す$dx$などは、1次元積分の場合は原則最後に書く。2次元以上の場合、積分範囲の指定との対応がわからなくなる恐れがある場合は、積分記号の直後に積分変数を書く:
$$ \int_0^\pi d\phi \int_0^{2 \pi} d\phi f(\theta, \phi) $$
$$ \int_\text{全立体角} d \Omega f(\theta, \phi) = \int_{-1}^1 d(\cos \theta) \int_0^{2 \pi} d\phi f(\theta, \phi) $$
証明: 左辺は:
$$ = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2 \pi} d\phi \sin \theta f(\theta, \phi) $$
$t := \cos \theta$で置換積分して、$dt = - \sin \theta d \theta$より:
$$ = \int_1^{-1} (-dt) \int_0^{2 \pi} d\phi f(\theta, \phi) = \int_{-1}^1 dt \int_0^{2 \pi} d\phi f(\theta, \phi) $$
$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$
$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1} $$
AP: 証明を書く。
$$ \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2a} \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$
$$ \int_{-\infty}^\infty x^4 e^{-ax^2} dx = \frac{3}{2^2 a^2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$
$$ \int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-ax^2} dx = \frac{(2n - 1)!!}{2^n a^n} \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$
証明: 式（1）を$a$で微分する。
奇数次はゼロ。
Gauss関数は遇関数で$x^{2n + 1}$は奇関数なので。