<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 級数$\sum_{n=1}^\infty a_n$が正項級数とは、$a_n$が実数で:
$$ a_n \ge 0 \quad (n = 1, 2, \ldots) $$
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 正項級数$\sum_{n=1}^\infty a_n$は
$$ r :=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} $$
が存在するとき、$r < 0$なら収束し、$r > 0$なら発散する。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 正項級数$\sum_{n=1}^\infty a_n$は
$$ r :=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $$
が存在するとき、$r < 0$なら収束し、$r > 0$なら発散する。
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TMP: $\limsup$にしても成り立つ、こうすると必ず値が存在するというメリットがある。こうしたものをコーシーアダマールと呼ぶらしい。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 数列$a_n$について
$$ \sum_{n=1}^\infty |a_n| $$
が収束するとき、$a_n$は絶対収束するという。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 絶対収束するなら、収束する。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: コーシーの判定条件 より示す。任意の$\epsilon > 0$をとる。絶対収束するので、コーシーの判定条件より、ある$N$がとれて、任意の$n, m > N$（$m > n$とする）に対して:
$$ |a_{n + 1}| + |a_{n + 2}| + \cdots + |a_{m }| < \epsilon $$
これと
$$ |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \cdots + a_{m }| \le |a_{n + 1}| + |a_{n + 2}| + \cdots + |a_{m }| $$
より:
$$ |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \cdots + a_{m }| < \epsilon $$
よって、コーシーの判定条件より、級数は収束する。
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絶対収束はしないが、収束はする場合、条件収束するという。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 絶対収束するなら、項を並び替えても同じ値に収束する。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 級数$\sum_{n = 0}^\infty a_n$が絶対収束するとするとし、収束先を以下で書く:
$$ \alpha := \sum_{n = 0}^\infty a_n \tag{A} $$
数列$a_n$を並べ替えてできた数列$b_n$を考える。 $\{1, 2, \ldots \}$から$\{1, 2, \ldots \}$への1対1対応$\phi$があり
$$ b_n = a_{\phi(n)} $$
と書ける。
任意の$\epsilon > 0$をとる。式（A）よりある$N$があり:
$$ \left| \sum_{k = 0}^n a_k - \alpha \right| < \frac{\epsilon}{2} \quad (\forall n \ge N) \tag{B} $$
また、絶対収束することから、コーシーの判定条件 より、ある$M$があり:
$$ \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2} |a_k| < \frac{\epsilon}{2} \quad (\forall m_1, \forall m_2 \ge M) \tag{C} $$
$L := \max \{N, M\}$とし、$J := \max \{\phi(k) \mid k = 1, \ldots, L \}$とする。
任意の$j \ge J$をとる。すると:
$$ \{a_1, a_2, \ldots, a_L \} \sub \{ b_1, b_2, \ldots, b_j \} $$
この差分を
$$ R := \{ b_1, b_2, \ldots, b_j \} \setminus \{a_1, a_2, \ldots, a_L \} \tag{D} $$
と書くと:
$$ \sum_{k = 1}^j b_k = \sum_{k = 1}^L a_k + \sum_{r \in R} r $$
よって:
$$ \left| \sum_{k = 1}^j b_k - \alpha \right| = \left| \sum_{k = 1}^L a_k + \sum_{r \in R} r - \alpha \right| \le \left| \sum_{k = 1}^L a_k - \alpha \right| + \sum_{r \in R} |r| \tag{E} $$
ここで、最後の項は式（D）より
$$ R \sub \{a_{L+1}, a_{L + 2}, \ldots \} $$
なので:
$$ \sum_{r \in R} |r| \le \sum_{k = L + 1}^{\max \{\phi^{-1}(i) \mid i = 1, 2, \ldots, j\}} |a_k| $$
これは、式（C）より$\epsilon/2$以下。一方、式（E）の最初の項は式（B）より$\epsilon/2$以下。結局:
$$ \left| \sum_{k = 1}^j b_k - \alpha \right| < \epsilon $$
参考: 正項級数についてまず示して、正項級数でない場合はプラス部とマイナス部に分けて、それぞれが正項級数になることから示す、という証明もあるが、この証明は複素数列のときに使えないのが難点。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 級数$\sum_{n = 0}^\infty a_n, \sum_{n = 0}^\infty b_n$が絶対収束するとき:
$$ \left( \sum_{n = 0}^\infty a_n \right) \left( \sum_{n = 0}^\infty b_n \right) = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k = 0}^n a_k b_{n - k} $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明:
$$ \begin{aligned} A_n &:= \sum_{k = 0}^n a_k, \quad &B_n &:= \sum_{k = 0}^n b_k \\ \alpha &:= \lim_{n \to \infty} A_n, \quad & \beta &:= \lim_{n \to \infty} B_n\\ \bar{A}n &:= \sum{k = 0}^n |a_k|, \quad &\bar{B}n &:= \sum{k = 0}^n |b_k| \\ \bar{\alpha} &:= \lim_{n \to \infty} \bar{A}n, \quad & \bar{\beta} &:= \lim{n \to \infty} \bar{B}_n\\ \end{aligned} $$
と書く。極限の性質より:
$$ \lim_{n \to \infty} A_n B_n = \left( \lim_{n \to \infty} A_n \right) \left( \lim_{n \to \infty} B_n \right) = \alpha \beta $$
$$ \lim_{n \to \infty} \bar{A}_n \bar{B}n = \left( \lim{n \to \infty} \bar{A}n \right) \left( \lim{n \to \infty} \bar{B}_n \right) = \bar{\alpha} \bar{\beta} $$
任意の$\epsilon > 0$をとる。上式より、ある$N$があり:
$$ |A_n B_n - \alpha \beta| < \frac{\epsilon}{2} \quad (\forall n \ge N) \tag{A} $$
$$ |\bar{A}n \bar{B}n - \bar{A}{n'} \bar{B}{n'}| < \frac{\epsilon}{2} \quad (\forall n, n' \ge N) \tag{B} $$
二つ目の式はコーシーの判定条件 による。
数列$c_k, C_m$を導入:
$$ c_k := \sum_{l = 0}^k a_l b_{k - l} \\ C_m := \sum_{k = 0}^m c_k $$
$C_m$を別の表記で書くと:
$$ C_m = \sum_{0 \le p + q \le m} a_p b_q $$
任意の$m > 2 N$に対して:
$$ C_m = A_N B_N + R \\ R := \sum_{0 \le p + q \le m \ \& \ q > N \ \& \ p > N} a_p b_q \tag{C} $$
この証明の要点は、下図水色部が示したい値に収束することと、緑で表した誤差部は、級数が絶対収束することから0に収束することの2点。
https://www.figma.com/file/LxUnXcdFzfocDLZ2BQt2BB/cauchy_product?type=design&node-id=0-1&mode=design&t=UTEuaKOep8wIiwxn-0
ここで
$$ |R| \le \sum_{0 \le p + q \le m \ \& \ p > N \ \& \ q > N} |a_p| |b_q| \le \sum_{p \le m \& \ q \le m \& \ p > N \ \& \ q > N} |a_p| |b_q| = \sum_{p \le m \& \ q \le m} |a_p| |b_q| - \sum_{p \le N \& \ q \le N} |a_p| |b_q| = \bar{A}_m \bar{B}_m - \bar{A}_N \bar{B}_N $$
と式（B）より:
$$ |R| < \frac{\epsilon}{2} $$
式（C）より:
$$ |C_m - A_N B_N| < \frac{\epsilon}{2} $$
これと式（A）より:
$$ |C_m - \alpha \beta| < \epsilon $$
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