$$ L_n(x) := \sum_{k=0}^n {}_n \text{C}_k \frac{(-x)^k}{k!} \tag{1} $$
$n$は非負整数。
$$ L_n (x) = \frac{1}{n!} (\partial - 1)^n x^n $$
証明: 右辺は2項定理より:
$$ = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^n {}_n \text{C}k \partial^{n-k} (-1)^k x^n = \frac{1}{n!} \sum{k = 0}^n {}_n \text{C}_k (-1)^k \frac{n!}{(n - (n - k))!} x^{n - (n - k)} $$
これは式（1）の右辺に等しい。
$$ L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \partial^n (x^ne^{-x}) $$
証明: 右辺はLeibnizルールより:
$$ = \frac{e^x}{n!} \sum_{k = 0}^n {}_n \text{C}k (\partial^{n-k} x^n ) (-1)^k e^{-x} = \frac{1}{n!} \sum{k = 0}^n {}_n \text{C}_k \frac{n!}{(n - (n - k))!} x^{n - (n - k)} (-1)^k $$
これは式（1）の右辺に等しい。
$$ \begin{aligned} L_0 (x) &= 1 \\ L_1 (x) &= 1 - x \\ L_2 (x) &= \frac{1}{2} (2 - 4 x + x^2) \\ L_3 (x) &= \frac{1}{6} (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) \end{aligned} $$
$L_n(x)$は以下の解で、$x \to \infty$で$e^{-x}y \to 0$のものに限定して考える場合、$n$は非負整数に限られ、定数倍を除いて$L_n(x)$が唯一の解:
$$ x y'' + (1 - x) y' + n y = 0 \tag{2} $$
式（2）の解として、式（１）を発見的に求めることを考える。また$y$が有界という条件で考えると、$n$が非負整数に限られることもみていく。
テーラー展開して展開係数を求めていく:
$$ y = \sum_{k=0} ^\infty c_k x^k $$
式（2）に代入すると:
$$ x \sum_{k = 0}^\infty c_k k (k - 1) x^{k - 2} + (1 - x) \sum_{k = 0}^\infty c_k k x^{k - 1} + n \sum_{k = 0}^\infty c_k x^k = 0 $$
$$ \sum_{k = 0}^\infty c_k k (k - 1) x^{k - 1} + \sum_{k = 0}^\infty c_k k x^{k - 1} - \sum_{k = 0}^\infty c_k k x^k + n \sum_{k = 0}^\infty c_k x^k = 0 $$
$$ \sum_{k = 0}^\infty \left[ c_{k + 1} (k + 1) k + c_{k + 1} (k + 1) - c_k k + n c_k \right] x^k= 0 $$
$$ c_{k + 1} (k + 1) k + c_{k + 1} (k + 1) - c_k k + n c_k = 0 $$
$$ c_{k + 1} = \frac{k - n}{(k + 1)^2} c_k \tag{3} $$
$n$がある非負整数の場合、$c_{n+ 1} = 0$となり、これ以降の$k \ge n + 1$についても$c_k = 0$となり、有限個の項を持つ多項式となる。
$k \to \infty$を考えると、もし$n$が非負整数でない場合、項が無限に続くことになり:
$$ c_{k + 1} = \frac{1}{k} c_k $$
これでは、以下の通り$y x^{-x}$が$x \to \infty$で発散してしまう:
$$ y \sim\sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x $$
これでは$y e^{-x}$が有界という条件に反するため、結局$n$は非負整数でなくてはならない。
次に、式（3）が式（1）と定数倍を除いて一致していることをみる。
式（1）をテーラー展開した場合の展開係数を$d_{k}$で表すとすると:
$$ d_{k} = {}_n \text{C}_k \frac{(-1)^k}{k!} = \frac{(-1)^k n!}{(n - k)! k! k!} $$
$$ \frac{d_{k + 1}}{d_{k}} = -\frac{n - k}{(k + 1)^2} $$
これは式（3）と一致している。よって、式（1）は式（2）の解で、式（2）の解は、$y$が有界で$x = 0$でTaylor展開できるものに限れば、定数倍を除いて式（1）に限られる。
有界でない解についてはLaguerre微分方程式のもう一つの解 を参照。
Sturm-Liouville型への変換:
$$ e^{-x} x y'' + (e^{-x} x)' y' + n e^{-x} y = 0 \tag{4} $$
式（2）に$e^{-x}$をかけた。重み関数が$e^{-x}$であることがわかる。
式（2）では境界条件が設定されていないので、これはSturm-Liouville問題にはなっているとは言えない。ただ、考える区間を$[0, \infty)$と設定して、‣ で$L$がHermitianであることを計算する部分をみると、この計算は式（4）についても成り立つことがわかる（今回$p(x) = e^{-x} x$なので、$p(0) = 0$かつ$p(\infty) = 0$）。よって、固有値が違う解が直交することは結論できる。
$$ \frac{e^{-xt/(1 - t)}}{1 - t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x) t^n\tag{5} $$