$t$を時間、$x, y, z$を空間座標とする。
$$ x^\mu := (ct, x, y, z)\\ \bm{x} := (x, y, z) $$
$$ g_{\mu \nu} := \text{diag}(-1, 1, 1, 1) $$
このノーテーションと同じなのは佐藤勝彦さん、松原隆彦さん、Zwiebach。谷井先生も「超重力理論」でこの記法。 逆符号のノーテーションなのはPeskinm, Landau-Lifshitz、坂本眞人。 距離の拡張という意味では、この符号が良いと思ったのでこの符号で定義する。
一般の4元ベクトル$x^\mu$に対して:
$$ x_\mu := g_{\mu \nu} x^\nu $$
ここで同じ文字が上付きと下付きで同じ文字の場合は和を略していることにする（同じ文字を$\mu$として$\sum_{\mu=0}^3$が略されている意味とする）。
$dt, dx, dy, dz$を時空座標変化として:
$$ dx^\mu := (cdt, dx, dy, dz) $$
$$ -(cd\tau)^2 \equiv ds^2 \equiv -(c dt)^2 + (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 \equiv dx^\mu dx_\mu $$
$\bm{x}(t)$を運動曲線として:
$$ \bm{v} := \frac{d\bm{x}}{dt} \tag{1} $$
$$ \bm{u} := (u_x, u_y, u_z) := \frac{d\bm{x}}{d \tau} = \frac{\bm{v}}{\sqrt{1 - (\frac{\bm{v}}{c})^2}} = \gamma \bm{v} $$
$\because (\frac{dt}{d\tau})^2=1 - \frac{1}{c^2}(\frac{d \bm{x}}{dt})^2$
ここで:
$$ \beta:=\frac{\bm{\left| v \right|}}{c}, \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \tag{2} $$
4元速度:
$$ u^\mu := \frac{dx^\mu}{d\tau} = (\gamma c, u_x, u_y, u_z) = \gamma(c, v_x, v_y, v_z) $$
4元運動量: