$M$個の質点があり、$i$番目の質点の質量が$m_i$で、ポテンシャルが$U(\bm{r}_1, \ldots, \bm{r}_M)$の場合を考える。
この質点系の$i$番目の粒子の位置（時刻$t$の関数）を$\bm{r}_i$で表す。
$\bm{r}_i$は運動方程式を満たすものしか実現されないが、以下では運動方程式を満たさないものも含めて考えることにする。$\bm{r}_i$のことを軌跡と呼ぶことにする。
$$ T := \sum_{i = 1}^M \left( \frac{1}{2}m|\dot{\bm{r}}_i|^2 \right) $$
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 以下をラグランジュアンという:
$$ L = \sum_{i = 1}^M \left( \frac{1}{2}m|\dot{\bm{r}}_i|^2 \right) - V(\bm{r}_1, \ldots, \bm{r}_m) \tag{1} $$
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ラグランジュアンは$\bm{r}_1, \ldots, \bm{r}_M$と$\dot{\bm{r}}_1, \ldots, \dot{\bm{r}}_M$の関数（$2M$個のベクトルの関数）。また、これらが時間の関数なので、その意味でこれらを通して時間の関数とみることもできる。
運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いた形になっている。
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> ラグランジュアンを（ある時間範囲で）時間で積分したものを作用$S$という:
$$ S := \int_{t_1}^{t_2} L dt \tag{2} $$
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上式は時刻範囲が$t_1$から$t_2$として書いた。この後も特記なければこの範囲で作用を考える。
作用は軌跡$\bm{r}_1, \ldots, \bm{r}_M$によって決まる。よって、作用は関数の関数なので、汎関数と呼ばれるものになっている。
参考: $L$は汎関数ではなく$2M\cdot3$変数関数。
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 例: 簡単のため1次元で考える。
$$ L(x, \dot{x}) = \dot{x}^2 - x^2 $$
の場合を考えてみる。
時刻0から1までの作用を考えることにする。
軌跡が
$$ x(t) = t $$
なら:
$$ S = \int_0^1 (\dot{x}^2(t) - x^2(t))dt = \int_0^1 (1 - t^2)dt = 1 - \frac{1}{3} $$
別の軌跡として
$$ x(t) = t^2 $$
を考えてみると:
$$ S = \int_0^1 (\dot{x}^2(t) - x^2(t))dt = \int_0^1 (4t^2 - t^4)dt = \frac{3}{4} - \frac{1}{5} $$
別の軌跡として
$$ x(t) = \sin(t) $$
を考えてみると:
$$ S = \int_0^1 (\dot{x}^2(t) - x^2(t))dt = \int_0^1 (\cos^2 t - \sin^2 t)dt = \int_0^1 \cos(2t) dt = \frac{1}{2}\sin(2) $$
このように、軌跡が決まると作用が決まる。
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