<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 数列$a_n$が実数$\alpha$に収束するとは、任意の$\epsilon > 0$に対してある$N$がとれて
$$ |a_n - \alpha| < \epsilon \quad (\forall n \ge N) $$
とできること。
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記号として、$N$のかわりに$n_0$などを使うことも考えらえるが、$a_{n_0}$などと添え字の添え字になってはしまうので$N$を使って書くこととした。
数列$a_n$について、任意の$n$に対して$a_{n + 1} \ge a_n$の時、増加列という。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 上に有界な増加列は収束する。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 集合$\{a_n : n = 1, 2, \ldots\}$は上に有界なので‣ より上限を持つ。これを$\alpha$とする。任意の$\epsilon > 0$に対して、上限の性質より、ある$a_N$があって:
$$ \alpha - a_N < \epsilon $$
$a_1, a_2, \cdots$は増加列なので:
$$ \alpha - a_n < \epsilon \quad (\forall n > N) $$
よって数列は$\alpha$に収束する。
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TMP: つまり点列コンパクト、多分連続の公理と同値、それは連続の公理のところに書くのが良い気がする。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 数列$a_n$が収束する必要十分条件は、任意の$\epsilon > 0$に対して、ある$N$がとれて
$$ |a_m - a_n| < \epsilon \quad (\forall n, \forall m \ge N) $$
とできること。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 必要性の証明: 任意の$\epsilon > 0$をとる。収束の定義より、ある$N$があり:
$$ |a_n - \alpha| < \frac{\epsilon}{2} \quad (\forall n \ge N) $$
任意の$n, m > N$をとる。上式より:
$$ |a_n - \alpha| < \frac{\epsilon}{2} \\ |a_m - \alpha| < \frac{\epsilon}{2}
$$
これより
$$ |a_m - a_n| = |(a_m - \alpha) - (a_n - \alpha)| \le |a_m - \alpha| + |a_n - \alpha| $$
は$\epsilon$より小さい。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 十分性の証明:
$$ b_n := \max \{ a_k \mid k \le n \} $$
とすると、単調増加列。また、数列$a_n$がコーシー列であることから、有界。よって、‣ より、収束先を持つ。これを$b_\infty$を書く。
任意に$\epsilon > 0$をとる。
$b_\infty$の定義より、ある$N_1$があり:
$$ |b_n - b_\infty| < \frac{\epsilon}{3} \quad (\forall n \ge N_1) $$
コーシー列の定義より、ある$N_2$があり:
$$ |a_m - a_n| < \frac{\epsilon}{3} \quad (\forall n, \forall m \ge N_2) \tag{A} $$
$N := \max \{ N_1, N_2 \}$として、$M \ge N$の$M$を一つとると:
$$ |b_M - b_\infty| < \frac{\epsilon}{3} \tag{B} $$
また、上限の定義より、ある数$L \ge M$があり:
$$ b_M - a_L < \frac{\epsilon}{3} \tag{C} $$
一方、式（A）より:
$$ |a_L - a_n| < \frac{\epsilon}{3} \quad (\forall n\ge L) $$
式（B）、式（C）より:
$$ |a_\infty - a_n| < \epsilon \quad (\forall n\ge L) $$
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