ここでは$i, j, k, l, m, n \in {1, 2, 3}$で考える。

内積

$\bm{a}, \bm{b}$をベクトルとして:

$$ \bm{a} \cdot \bm{b} := \sum_{i = 1}^3 a_i b_i $$

$\bm{a}, \bm{b}$が複素ベクトルの場合でも「$\cdot$」の場合は複素共役をとらない定義とする（TMP: 独自記法かもしれない）。

$$ \left< \bm{a}, \bm{b} \right> := \sum_{i = 1}^3 a_i^* b_i $$

絶対値

$\bm{a}$がベクトルの時:

$$ a := |\bm{a}| := \sqrt{\left<\bm{a} , \bm{a} \right>} $$

ナブラとラプラシアン

ナブラ:

$$ \bm{\nabla} := \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} $$

ラプラシアン:

$$ \nabla^2 = \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} $$

ベクトルを使った書き方も用いることにする:

$$ \frac{d f}{d \bm{r}} := \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} $$

一般のベクトル変数

$$ \bm{p} = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} $$

での微分は:

$$ \frac{d f}{d \bm{p}} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial p_x} \\ \frac{\partial f}{\partial p_y} \\ \frac{\partial f}{\partial p_z} \end{pmatrix} $$