公理的集合論ででてくる対象物はすべて集合。
数も集合で扱うという考え方、少し直感からは離れている。
公理的集合論では、集合が存在するかどうかをしっかりと確認していくことで、ラッセルのパラドックスなどを回避する。そのために、いくつかの存在公理がある。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: $A, B$を集合として
$$ \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) $$
なら$A = B$。
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つまり、要素が同じなら同じ集合。
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> これは、より正確に書けば以下。
$$ \forall A \ \forall B \ [\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \ \Rightarrow \ A=B ] $$
以下、可読性のためこのような略記を用いる。
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$\phi(x, y)$を任意の論理式として、以下を公理とする。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: $A$を集合として
$$ \forall x \ \exists ! y \ \phi(x, y) $$
なら、ある集合$R$があって:
$$ \forall y \ [y \in R \ \Leftrightarrow \ \exists x \ ( x \in A \ \wedge \ \phi(x, y))] $$
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ある集合と、その集合を定義域に持つ関数があった場合、その値域もまた集合、という意味。
ここで$\phi(x, y)$と書いた部分は任意の（ただし$R$以外の）自由変項を伴っても良いとする（$A$を自由変項として伴っても良い）。
分出公理では証明できないものを証明するために導入された。しかし、ほとんどの数学の証明には分出公理で十分。
斎藤（2002）では「ただ1つが存在」のかわりに「存在しても1つ」となっているが、これは採用しなかった。斎藤（2002）の定義の場合は置換公理から正則公理を出すのに、空集合の存在がいらない。
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 以下を満たす$\phi (x, y)$を関数論理式という:
$$ \forall x \ \exists ! y \ \phi(x, y) $$
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よって、置換公理の前半部は「$A$を集合として$\phi (x, y)$が関数論理式なら」と言い換えても良い。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: ある集合$E$が存在して:
$$ \forall x \ (x \notin E) $$
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この$E$を$\varnothing$と書く。