外延性の公理

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: $A, B$を集合として

$$ \forall x \ (x \in A \Leftrightarrow x \in B) $$

なら$A = B$。

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分出公理

$\phi(x)$を任意の論理式として:

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: $A$を集合とする。ある$S$があって:

$$ \forall x \ \left[x \in S \ \Leftrightarrow \ ( x \in A \ \wedge \ \phi(x))\right] $$

この$S$を以下で書く:

$$ \{ x \in A \mid \phi(x) \} $$

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ここで$\{ x \in A \mid \phi(x) \}$の$x$は任意の文字でよい。$\{ x \in A \mid \phi(x) \}$は外延性の公理により一意に定まる。

$\phi(x)$は任意と書いたが、細かく言えば、$S$を自由変項として含んではならない。$A$を含むほかの変項は自由変項として含んでよい。

また、$\{ x \in A \mid x = a_1 \ \vee \ x = a_2 \ \vee \ \cdots \ \vee x = a_n \}$について（$a_1, a_2, \ldots, a_n$をすべて含む集合の存在が明らかな場合は）、単に$\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$と書く。

和集合と共通部分

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 公理: $A, B$を集合とする。$A \cup B$なる集合があって:

$$ \forall x \ (x \in A \cup B \ \Leftrightarrow \ x \in A \ \vee \ x \in B) $$

これを$A, B$の和集合という。

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和集合は外延性の公理により一意に決まる。

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> $A, B$を集合とする。$A \cap B$なる集合があって:

$$ \forall x \ (x \in A \cap B \ \Leftrightarrow \ x \in A \ \wedge \ x \in B) $$

これを$A, B$の共通部分という。

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 和集合の公理より$A \cup B$がある。分出公理より

$$ \{x \in A \cup B \mid \ x \in A \ \wedge \ x \in B \} $$

が集合。

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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> $A, B$を集合とする。$A \setminus B$なる集合があって:

$$ \forall x \ (x \in A \setminus B \ \Leftrightarrow \ x \in A \ \wedge \ x \notin B) $$

これを$A, B$の差集合という。

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 和集合の公理より$A \cup B$がある。分出公理より

$$ \{x \in A \cup B \mid \ x \in A \ \wedge \ x \notin B \} $$

が集合。

</aside>

包含関係

<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> $A, B$を集合とする。

$$ \forall x \ (x \in A \ \Rightarrow \ x \in B) $$

のとき、$B$は$A$を含むといい、$A \sub B$と書く。また、この時$A$は$B$の部分集合であるという。

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べき集合

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: $A$を集合とする。$\mathcal{P}(A)$なる集合があって:

$$ \forall x \ (x \in \mathcal{P}(A) \Leftrightarrow x \sub A) $$

これを$A$のべき集合という。

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べき集合は外延性の公理により一意に決まる。