準備

$f$で複素関数を表し、$a, z$で複素平面上の点（つまり複素数）を表す。

領域とは複素平面上の開集合で、集合内の任意の2点を折れ線で結べるものを意味する。近傍: $V$が$a$の近傍とは、$a$を含む開集合$U$があり、$U \sub V$となること。

$a_n$で複素数列を表す。

複素数

$x, y$を実数として

$$ x + iy $$

の形を複素数と呼ぶ。ここで$i$は虚数単位と呼ばれる記号。$x, y$はそれぞれ実部、虚部と呼ばれる:

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} (x + iy) := x \\ \operatorname{Im} (x + iy) := y \end{aligned}

$$

複素数の絶対値を以下で定義:

$$ |x + iy| := \sqrt{x^2 + y^2} $$

二つの複素数の足し算、掛け算を以下で定義:

$$ (x + iy) + (x'+iy') := (x + x') + i(y + y') $$

$$ (x + iy)(x'+iy') := (xx' - y y ') + i(x y' + x' y) $$

複素数の複素共役を以下で定義:

$$ (x + iy)^* := x - iy $$

極限

数列の極限、関数の極限は、実数での定義から、実数の絶対値（$| \cdot |$ ）を複素数の絶対値に置き替えたもので定義する。

数列

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 複素数列$a_n$が複素数$\alpha$に収束することの必要十分条件は:

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(a_n) = \operatorname{Re} (\alpha) \\ \lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(a_n) = \operatorname{Im} (\alpha) \end{aligned}

$$

</aside>