$$ y'' - xy = 0 \tag{2} $$
以下は式（2）を満たす:
$$ \frac{1}{2 \pi i} \int_C \exp \left( \frac{1}{3}z^3 - xz \right) dz \tag{4} $$
ただし、$C$は以下のいずれかの色付き部の無限遠から始まって、別の何れかの色付き部の無限遠まで:
https://www.figma.com/file/BLTXhL2FVOEmvvJXYCBUEO/Untitled?type=design&mode=design&t=wjkMuiwqPeVvBfxF-0
上図の無限遠点の角度（$\theta$と書く）の制限を式で書くと:
$$ \begin{aligned} 0 < &\theta < \pi / 2\\ \text{or} \quad 2\pi - \pi/ 6 < &\theta < 2\pi + \pi/ 6 \quad\\ \text{or}\quad 3\pi/2 < &\theta < 2 \pi - \pi/6 \end{aligned} \tag{5} $$
証明: 式（4）を式（2）の左辺に代入すると（定数倍を除いて）:
$$ \int_C (z^2 - x) \exp \left( \frac{1}{3}z^3 - xz \right) dz = \int_C \frac{d}{dz} \exp \left( \frac{1}{3}z^3 - xz \right) dz $$
積分路の始点の（複素平面上での）方向を$\theta_1$、終点の方向を$\theta_2$とすると:
$$ \lim_{R \to \infty} \left[ \exp \left( \frac{1}{3}z^3 - xz \right) \right]{R e^{i \theta_1}}^{R e^{i \theta_2}} \\ = \lim{R \to \infty} \left[ \exp \left( \frac{1}{3}R^3 e^{3i\theta_2} - x R e^{i \theta_2} \right) - \exp \left( \frac{1}{3}R^3 e^{3i\theta_1} - x R e^{i \theta_1} \right) \right] $$
括弧内の前半部の絶対値を考えると:
$$ \exp \left( \frac{1}{3}R^3 \cos(3\theta_2) - x R \cos( \theta_2) \right) $$
式（5）より$\cos(3 \theta) < 0$なので括弧内は$R \to \infty$で$-\infty$。よって、全体は0に収束する。
後半部も同様に$0$に収束する。よって、全体が$0$に収束する。
解を見つける考え方: Laplace変換を使って解く方法をよく見るが（猪木川合など）Fourier変換でも（少なくとも形式的には）解けそうなので、それで考えてみる。
$xy$のFourier変換は（もし微分と積分が入れ替えられれば）:
$$ \int_{-\infty}^\infty xy(x) e^{-ikx} dx = i \frac{d}{dk} \int_{-\infty}^\infty y(x) e^{ikx} dx = i \frac{d}{dk} \hat{y}(k) $$
よって式（2）のFourier変換より:
$$ -k^2 \hat{y}(k) - i \hat{y}'(k) = 0 $$
$$ \hat{y}'(k) = ik^2 \hat{y}(k) $$
$$ \hat{y}(k) = \exp \left( \frac{i}{3} k^3 \right) $$
$$ y = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \exp \left( \frac{i}{3} k^3 + ikx\right) dk $$
式（4）で、積分路の始点、または終点は、同じ領域内の別の角度に変更しても、積分結果は変わらない。
証明: 下図のような半径$R$で角度$\theta_1$から$\theta_2$までの円弧の積分路を考える。
https://www.figma.com/file/16k6zQSRafYpFbPRST4ak3/Untitled?type=design&mode=design&t=Zv9qUP9CoyBcjrhG-0
この積分路で式（4）の積分を計算した結果が$R \to \infty$で$0$になればよい。
式（4）を$z=Re^{i\theta}$として$\theta_1$から$\theta_2$まで積分すればよいので:
$$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \exp \left( \frac{1}{3}R^3 e^{3i\theta} - x R e^{i\theta}\right) iR e^{i\theta} d\theta $$
絶対値を考えると:
$$ < \frac{1}{2\pi} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \exp \left( \frac{1}{3} R^3 \cos(3\theta) - x R \cos(\theta)\right) R d\theta $$
今$\theta_1$と$\theta_2$が同じ領域（式（4）下の図の緑の領域）に入っている場合を考えているので、$\cos(3\theta) < 0$。よって、被積分関数は$R \to \infty$で0に収束する。よって積分全体も$0$に収束する。
$$ \text{Ai}(x) := \frac{1}{2 \pi i} \int_C \exp \left( \frac{1}{3}z^3 - xz \right) dz \tag{3} $$
ここで$C$は偏角$-\pi/3$方向の無限遠から始まり、偏角$\pi/3$の無限遠までの積分経路。
偏角は$\pi/3$である必要はなく、$\pi/6$より大きく$\pi/2$より小さければ良い。$-\pi/3$についても$-\pi/2$より大きく$-\pi/6$より小さければ良い。
以下もエアリー関数だと言われている: