1つの質点について考える。
質点の質量を$m$で表す。
時刻$t$での質点の位置を$\bm{r}(t)$で表す。
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
ニュートンの運動方程式: 時刻$t$で質点に働く力を$\bm{F}(t)$とすると:
$$ \bm{F} = m \ddot{\bm{r}} \tag{1} $$
</aside>
ここから、$\bm{F}$が与えられれば$\bm{x}$を求めることができる。
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
以下を運動量と呼ぶ:
$$ \bm{p} := m \dot{\bm{r}} \tag{4} $$
</aside>
力と運動量の関係:
$$ \bm{F} = \dot{\bm{p}} \tag{5} $$
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
$$ K := \frac{1}{2} m \dot{\bm{r}}^2 $$
</aside>
位置の関数$V(\bm{r})$があり、質点に働く力が
$$ \bm{F} = - \bm{\nabla} V (\bm{r}) \tag{7} $$
と表される場合を考える。
このとき、この力は保存力であるという。上式よりこの力は質点の位置で決まる。関数$V$をポテンシャル、$V(\bm{r})$を位置$\bm{r}$でのポテンシャルエネルギーという。