ここでは質点の運動が平面内で行われる場合を考える。
運動が行われる平面が$x, y$平面になるように座標系をとることにして考えていく。
この$x, y$を$r, \theta$で表現するのが極座標で、定義と関連する数学の公式は‣ を参照のこと。いくつか重要なものを再掲しておく:
$$ \begin{aligned} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{aligned} \tag{3} $$
$$ \bm{e}r := \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}, \quad \bm{e}\theta := \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} \tag{4} $$
$$ \bm{e}r \cdot \bm{e}r = 1, \quad \bm{e}\theta \cdot \bm{e}\theta = 1, \quad \bm{e}r \cdot \bm{e}\theta = 0 \tag{9} $$
$$ \bm{r} = r \bm{e}_r \tag{10} $$
以下では、$x, y$は質点位置として考える。質点の運動を考えるので、$x, y$は時間変化する。よって、$r, \theta$も時間変化する。$\bm{e}r, \bm{e}\theta$はこの時間変化する$r, \theta$に対応する点でのもの（正確には$\theta$のみに依存する）と考える。よって、これらも時間変化していく。
質点が時間変化するので、（質点位置での）単位ベクトルもそれに合わせて時間変化する。よって時間微分を考えることができ:
$$ \begin{aligned} \dot{\bm{e}}r &:= \frac{d}{dt}\bm{e}r = \dot{\theta} \bm{e}\theta \\ \dot{\bm{e}}\theta &:= \frac{d}{dt}\bm{e}_\theta = -\dot{\theta} \bm{e}_r \end{aligned} \tag{14} $$
速度ベクトルは:
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
$$ \dot{\bm{r}} = \dot{r} \bm{e}r + r \dot{\theta} \bm{e}\theta \tag{12} $$
</aside>
速度の動径方向と方位角方向の成分はそれぞれ:
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
$$ \begin{aligned} v_r &= \dot{r} \\ v_\theta &= r \dot{\theta} \end{aligned} $$
</aside>