ここでは質点の運動が平面内で行われる場合を考える。
運動が行われる平面が$x, y$平面になるように座標系をとることにして考えていく。
$x, y$（この座標系をデカルト座標と呼ぶ）と以下の関係にある極座標$r, \theta$を導入する:
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$$ \begin{aligned} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{aligned} \tag{3} $$
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また、以下の単位ベクトルを導入する:
<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" />
$$ \bm{e}r := \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}, \quad \bm{e}\theta := \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} \tag{4} $$
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これらの単位ベクトルは質点の位置から決まる$\theta$によって変化することに注意。
これらの単位ベクトルの向きを動径方向と方位角方向と呼ぶ。
これは正規直交基底になっている:
$$ \bm{e}r \cdot \bm{e}r = 1, \quad \bm{e}\theta \cdot \bm{e}\theta = 1, \quad \bm{e}r \cdot \bm{e}\theta = 0 \tag{9} $$
質点が時間変化するので、これらの単位ベクトルもそれに合わせて時間変化する。よって時間微分を考えることができ:
$$ \begin{aligned} \dot{\bm{e}}r &:= \frac{d}{dt}\bm{e}r = \dot{\theta} \bm{e}\theta \\ \dot{\bm{e}}\theta &:= \frac{d}{dt}\bm{e}_\theta = -\dot{\theta} \bm{e}_r \end{aligned} \tag{14} $$
$x, y$をまとめて以下で書く:
$$ \bm{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
これが位置ベクトル。
ここで、$\bm{r}$は3次元で考えるときは3次元ベクトルになるが、ここでは同じ記号で2次元ベクトルを表している。同じ記号になるのは少し紛らわしいが、ここでは2次元しか扱わないので記法を使うことにする。