力

原点に質量$M$の質点が固定されていて、そこから質力$m$の別の質点が万有引力を受ける場合を考える。この質量$m$の質点の運動を考えていく。

ここでの方法は後に見るように、一つの質点が固定されていない場合にもほとんどそのまま使えるので重要（TMP: 質点系のところで二つの質点の場合を議論する）。

$G$を万有引力定数（ $6.6743 × 10^{-11} \text{m}^2/\text{kg}^2$）として

$$ k := GMm \tag{18.0} $$

$$ V(r) = -\frac{k}{r} \tag{18} $$

であることが知られている。力は:

$$ F(r) = - \frac{GMm}{r^2} \tag{18.2} $$

• 導出

軌道の一般論

質点の軌跡（極座標で考える）は

$$ e := \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}} \tag{19} $$

$$ l := \frac{L^2}{mk} \tag{20} $$

として以下を満たす:

$$ r = \frac{l}{1 + e \cos(\theta + C)} $$

• 導出
• 別の導出

$e$は離心率（Eccentricity）、$l$は半直弦（semi-latus rectum）と呼ばれる。

特に、$r$が最小になるときに$\theta = 0$となるように座標系（回転方向）をとることにすれば:

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$$ r = \frac{l}{1 + e \cos \theta}　\tag{22} $$

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