$$ c_m := \int_0^1 f(x) e^{-2 \pi imx} dx $$
$$ f(x) \sim \sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{2 \pi imx} $$
$$ c_m = \int_{-L/2}^{L/2} f(x) e^{-2 \pi imx/L} dx\\f(x) = \frac{1}{L}\sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{2 \pi imx/L} \tag{100} $$
ここで
$$ c_m = \frac{1}{L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) e^{-2 \pi imx/L} dx\\f(x) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{2 \pi imx/L} $$
の方が自然のようにも感じられる。なぜなら、$\tilde{x} := x/L$として
$$ c_m = \int_{-L/2}^{L/2} f(x) e^{-2 \pi im \tilde{x}} d\tilde{x}\\ f(x) = \frac{1}{L}\sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{2 \pi im\tilde{x}} $$
と考える場合、$d\tilde{x} = dx/L$から、第1式に$1/L$が現れるため。
ただ、$L \to \infty$でFourier変換になるように考えると
$$ \frac{1}{L} \sum_{m = -\infty}^{\infty} \to \int_{-\infty}^{\infty} $$
なので、式(100)の定義にしておいた方が良い。
$f$が区分的に微分可能な場合:
$$ \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2} = \sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{2 \pi imx} $$
不連続点でも右微分、左微分が定義されている必要がある。
TMP: この条件以上に一般の場合を考える（あらゆる点で不連続など…）ことは、実用上はまずないので、これで十分な気はする。
参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_Fourier_series
参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 矩形関数:
$$ \operatorname{rect} (x) = \sum_{m = -\infty}^\infty \frac{1}{2}\operatorname{sinc} \left( \frac{\pi m}{2} \right) e^{2 \pi i m} $$
</aside>
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明:
$$ \int_{-1/2}^{1/2} \operatorname{rect} (x) e^{-2 \pi i m x} dx = \int_{-1/4}^{1/4} e^{-2 \pi i m x} dx = \frac{1}{-2 \pi i m} \left[ e^{-2 \pi i m x} \right]_{-1/4}^{1/4} $$
$$ = \frac{1}{-2 \pi i m} \left[ e^{-\frac{1}{2} \pi i m} - e^{\frac{1}{2} \pi i m} \right] = \frac{1}{-2 \pi i m} 2i \sin \left(-\frac{\pi m}{2} \right) = \frac{1}{\pi m} \sin \left(\frac{\pi m}{2} \right) $$
</aside>
コード: https://colab.research.google.com/drive/1jfQ7ECRpDaO6W_iMsdBiqoILT3rSOKRL?usp=sharing
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> sin, cosで表すなら:
$$ \operatorname{rect} x = \frac{1}{2} + \sum_{m = 1}^\infty \operatorname{sinc} \left( \frac{\pi m}{2} \right) \cos(2 \pi m) $$
証明:
$$ \begin{aligned} c_m e^{2 \pi i m} + c_{-m} e^{-2 \pi i m} &= \frac{1}{2}\operatorname{sinc} \left( \frac{\pi m}{2} \right) \left( e^{2 \pi i m} - e^{-2 \pi i m}\right) \\ &= \operatorname{sinc} \left( \frac{\pi m}{2} \right) \cos(2 \pi m) \end{aligned} $$
</aside>