周波数での記法

周波数を使った記法:

$$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i \xi x} dx \tag{2} $$

$$ f(x) \sim \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi x} d \xi $$

記号$F[\cdot]$を使う記法:

$$ F_x [f(x)] (\xi) $$

でFourier変換後の$\hat{f}(\xi)$を表すとする。あいまいさがない場合は以下のように略して書いても良いことにする:

$$ F [f(x)] (\xi) $$

$$ F [f(x)] $$

また、以下と書いても良い:

$$ Ff $$

左側に$x$の関数、右側に$\xi$の関数を書いて、Fourier変換前後の関係を表す記法も用いる:

$$ f(x) \enspace \overset{F}{\longrightarrow} \enspace \hat{f}(\xi) $$

また、これらの表記で$F$を$F^{-1}$に変えたもので、Fourier逆変換を表す:

$$ F_\xi^{-1}\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi x} d\xi \tag{40} $$

2次元になる場合はx方向の周波数を$\xi$、y方向の周波数を$\eta$で表す。

参考: 波数での記法

$$ \tilde{f}(k) := \int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) e^{-i k x} \tag{1} $$

$$ f(x) \sim \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2 \pi} \tilde{f}(k) e^{i k x} $$

$k = 2 \pi \xi$の関係。時間についての場合は$\xi, k$の代わりに$\nu, \omega$を用いる。