<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 関数列$\phi_n (x)$と関数$f (x)$があり、任意の$\epsilon > 0$に対してある$N$がとれて、任意の$n \ge N$について
$$ |\phi_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad (\forall x \in S) $$
なら、関数列$\phi_n (x)$は関数$f(x)$に$S$上一様収束するという。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> $S$上の任意の有界閉集合に対して一様収束する場合、$S$上広義一様収束するという。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 関数列$\phi_n (x)$の各関数が$S$上連続で、関数$f (x)$に$S$上一様収束するなら、関数$f(x)$も$S$上連続。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 任意に$\epsilon > 0$をとる。
関数列$\phi_n(x)$が関数$f(x)$に$S$上一様収束する場合を考える。するとある$N$があり:
$$ |\phi_N(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} \quad (\forall x \in S) \tag{A} $$
$S$から任意に点$a$をとる。
関数$\phi_N(x)$は連続なので、ある$\delta$があり、任意の$|x - a| < \delta$を満たす$x$について:
$$ |\phi_N(x) - \phi_N(a)| < \frac{\epsilon}{3} \tag{B} $$
式（A）より:
$$ |\phi_N(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} \tag{C} $$
$$ |\phi_N(a) - f(a)| < \frac{\epsilon}{3} \tag{D}
$$
式（B）、式（C）、式（D）より:
$$ |f(x) - f(a)| < \epsilon $$
よって関数$f(x)$は$S$上で連続。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 関数列$\phi_n(x)$があるとき、各関数が閉区間$I$上可積分で、関数$f(x)$に一様収束するなら、関数$f(x)$は$I$上可積分。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 任意に$\epsilon > 0$をとる。区間$I$の長さを$|I|$で表す。関数列$\phi_n(x)$は関数$f(x)$に一様収束するので、ある$N$があり:
$$ |\phi_N(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2|I|} \quad (\forall x \in S) \tag{A} $$
関数$\phi_N(x)$は可積分なので、ある$s$と$\delta$があり、大きさが$\delta$以下の任意の点付き分割$x_n, t_n$に対して:
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} \phi_N(t_n) (x_{n + 1} - x_n) - s \right| < \frac{\epsilon}{2} \tag{B} $$
ここで:
$$ \begin{aligned} &\left| \sum_{n = 0}^{N - 1} \phi_N(t_n) (x_{n + 1} - x_n) - \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) (x_{n + 1} - x_n) \right| \\ &= \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} (\phi_N(t_n) - f(t_n)) \right| (x_{n + 1} - x_n) \\ &\le \sum_{n = 0}^{N - 1} | \phi_N(t_n) - f(t_n)| (x_{n + 1} - x_n) \end{aligned} $$
数式（A）より:
$$ < \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{\epsilon}{2|I|} (x_{n + 1} - x_n) = \frac{\epsilon}{2} $$
これと数式（B）より:
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) (x_{n + 1} - x_n) - s \right| < \epsilon $$
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ここでの可積分はリーマン積分の意味。以下同様。
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 関数列$\phi_n (x)$の各関数が閉区間$I$上可積分で、関数$f(x)$に$I$上一様収束するなら:
$$ \lim_{n \to \infty} \int_I \phi_n(x) dx = \int_I f(x) dx $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 任意に$\epsilon > 0$をとる。$I$の長さを$|I|$で表す。
関数列$\phi_n(x)$が関数$f(x)$に$I$上一様収束するので、ある$N$があり、任意の$n \ge N$について:
$$ |\phi_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{|I|} \quad (\forall x \in I) $$
前述の定理より関数$f(x)$は可積分。積分して:
$$ \int_I |\phi_n(x) - f(x)| dx < \frac{\epsilon}{|I|} \int_I dx $$
ここで
$$ \left| \int_I (\phi_n(x) - f(x)) dx \right| \le \int_I |\phi_n(x) - f(x)| dx $$
より:
$$ \left| \int_I \phi_n(x)dx - \int_I f(x) dx \right| < \epsilon $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 一様収束しなくても、この等式が成り立つケースは当然ある。例えば$\phi_n(x) = x^{2n + 1}$を$I=[-1, 1]$で考える場合、積分された関数列の要素はどの項でも$0$で、収束先の関数の積分結果も$0$で、この関数列は一様収束しない。
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各関数が（連続でなくても）可積分であればよいことの参考: https://utstudent-scienceblog.com/hello-world/
TMP: 不連続関数を排除して、かつ、一様収束だけを収束とよぶなら、これは完備になるのだろうか？それはなるな！それでよいのでは？
TMP: https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/05/biseki4b-051214.pdf
<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 関数列$\phi_n (x)$について、各関数を微分してできる関数列 $\phi'_n(x)$$\phi_n'(x)$ $\phi'_n(x)$$\phi_n'(x)$$I$上連続で、関数列 $\phi'_n(x)$が一様収束するなら、関数列$\phi_n(x)$はある関数$f(x)$に収束して:
$$ \lim_{n \to \infty} \phi'_n(x) = f'(x) $$
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