有界

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 実数の集合$A$について、ある実数$a$があって$A$のすべての要素が$a$以下であるとき、上に有界という。

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上限

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 実数の集合$A$について、実数$a$が$A$の上限であるとは、$A$のすべての要素が$a$以下で、かつ、任意の$\epsilon > 0$に対してある$x \in A$があり:

$$ a - x < \epsilon $$

上限が存在する場合以下で書く:

$$ \sup A $$

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 同様に、下限であるとは、$A$のすべての要素が$a$以上で、かつ、任意の$\epsilon > 0$に対してある$x \in A$があり:

$$ x - a < \epsilon $$

下限が存在する場合以下で書く:

$$ \inf A $$

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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 空でない実数の集合$A$について、任意の$x \in A$について$x \le c$なら、$\sup A \le c$。

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: もし$\sup A > c$だとすると、上限の定義で$\epsilon = \sup A - c$ととると、ある$x \in A$があり:

$$ \sup A - x < \sup A - c $$

よって$c < x$となり矛盾。

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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 空でない実数の集合$A$について、任意の$x \in A$について$c \le x$なら、$c \le \sup A$。

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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 仮定より、ある$x \in A$があり、$c \le x$。もし$\sup A < c$だとすると、上限の定義で$A$のすべての要素が$\sup A$以下である必要があるが、これは$\sup A < c$と矛盾する。

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実数の公理

<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 公理: 任意の実数の集合$A$について、$A$が空でなく、上に有界なら、上限が存在する。

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