$$ L_{n p} := \partial^p L_n (x) \tag{12} $$
$n, p$は非負整数で$n \ge p$。
$n$でない方の添え字: 上付きで書くのが普通だが、これは個人的にはべき乗と紛らわしので下付きで書くこととした。また、日本語版Wikipediaでは$k$だが、$k$は級数展開の展開次数で使いたいので、代わりに$p$で書いた。
$$ L_{n p} = \sum_{j = 0}^{n - p} \frac{(-1)^{j + p} n!}{(n - (j + p))! (j + p)! j!} x^j \tag{13} $$
証明: 式（12）とラゲール多項式 の式（1）より:
$$ \begin{aligned} L_{n p}(x) &= \partial^p \sum_{j=0}^n {}n \text{C}j \frac{(-x)^j}{j!} \\ &= \sum{j = p}^n \frac{(-1)^j n!}{(n - j)! j!} \frac{1}{j!}\frac{j!}{(j - p)!} x^{j - p} \\ &= \sum{j = 0}^{n - p} \frac{(-1)^{j + p} n!}{(n - (j + p))! (j + p)!} \frac{1}{(j + p)!} \frac{(j + p)!}{j!} x^j \\ &= \sum_{j = 0}^{n - p} \frac{(-1)^{j + p} n!}{(n - (j + p))! (j + p)! j!} x^j
\end{aligned} $$
$$ L_{n \alpha} = (-1)^\alpha \frac{1}{(n - \alpha)!} x^{- \alpha} e^x \partial^{n - \alpha} (e^{-x} x^n) $$
証明: 右辺は:
$$ \begin{aligned} &= \frac{(-1)^\alpha}{(n - \alpha)!} x^{- \alpha} e^x \sum_{k = 0}^{n - \alpha} {}{n - \alpha} \text{C}k (-1)^{n - \alpha - k} e^{-x} \frac{n!}{(n - k)!} x^{n - k} -\\ &= \frac{(-1)^\alpha}{(n - \alpha)!}\sum{k = 0}^{n - \alpha} \frac{(n - \alpha)!}{(n - \alpha - k)! k!} (-1)^{n - \alpha - k}\frac{n!}{(n - k)!} x^{n - k - \alpha} \\ &= \sum{k = 0}^{n - \alpha} \frac{(-1)^{n - k}}{(n - \alpha - k)! k!} \frac{n!}{(n - k)!} x^{n - k - \alpha} \end{aligned} $$
$k \to k' := n - k - \alpha$で書き直して$k'$を$k$と書くと:
$$ = \sum_{k = 0}^{n - \alpha} \frac{(-1)^{k + \alpha}}{k!(n - \alpha - k)!} \frac{n!}{(k + \alpha)!} x^k $$
これは式（13）と一致している。
$$ \begin{aligned} L_{0, 0} (x) &= 1 \\ L_{1, 0} (x) &= 1 - x \\ L_{1, 1} (x) &= -1 \\ L_{2, 0} (x) &= \frac{1}{2} (2 - 4 x + x^2) \\ L_{2, 1} (x) &= x - 2 \\ L_{2, 2} (x) &= -2 \\ L_{3, 0} (x) &= \frac{1}{6} (-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) \\ L_{3, 1} (x) &= \frac{1}{2} (-x^2 + 6x - 6) \\ L_{3, 2} (x) &= -x + 3 \\ L_{3, 3} (x) &= -1 \end{aligned} $$
$L_{n p}$は以下の解:
$$ x y'' + (p + 1 - x) y' + (n - p) y = 0 \tag{14} $$
証明: $p$の帰納法で示す。$p = 0$の時は、ラゲール多項式 の式（2）から明らか。
$p$での式（14）の成立を仮定する:
$$ x L''{n p}(x) + (p+ 1 - x) L'{n p}(x) + (n - p) L_{n p}(x) = 0 $$
ここから$\alpha \to \alpha + 1$での式（14）の成立を示す。上式を微分すると:
$$ L''{n p}(x) + x L'''{n p}(x) - L'{n p}(x) + (p+ 1 - x) L''{n p}(x) + (n - p) L'_{n p}(x) = 0 $$
$$ x L'''{n p}(x) + (p + 1 + 1 - x) L''{n p}(x) + (n - (p + 1)) L'_{n p}(x) = 0 $$
$$ x L''{n, p + 1}(x) + ((p + 1) + 1 - x) L'{n, p + 1}(x) + (n - (p + 1)) L_{n, p + 1}(x) = 0 $$
よって、$p \to p + 1$での式（14）の成立が示せた。
$x \to \infty$で$e^{-x}y \to 0$のものに限定して考える場合、$n - p$ が非負整数の場合のみ式（14）は解を持ち、それは式（12）。
定数倍の自由度は除いて。
証明: 式（14）の解を$y$を級数展開して求めることを考える:
$$ y = \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} x^j $$
式（14）に代入すると:
$$ x \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} j (j - 1) x^{j - 2} + (p + 1 - x) \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} j x^{j - 1} + (n - p) \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} x^j = 0 $$
$$ \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} j (j - 1) x^{j - 1} + (p + 1) \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} j x^{j - 1} \\- \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} j x^j + (n - p) \sum_{j = 0}^\infty c_{n p j} x^j = 0 $$
$$ \sum_{j = 0}^\infty \left[ c_{n, p, j + 1} (j + 1) j + (p + 1) c_{n, p, j+1} (j + 1) - c_{n p j} j + (n - p) c_{n p j} \right] x^j = 0 $$
$$ c_{n, p, j + 1} = \frac{j - (n - p)}{(j + 1) (p + j + 1)} c_{nkj} \tag{15} $$
$n - p$がある非負整数の場合$j = n - p$で上式は$0$となり、それ以降の$j$についても$c_{n p j} = 0$となり、有限個の項を持つ多項式となる。
$p \to \infty$を考えると、もしが非負整数でない場合、項が無限に続くことになり:
$$ c_{n, \, pj + 1} = \frac{1}{p} c_{n p j} $$
これでは、以下の通り$y$が$x \to \infty$で発散してしまう:
$$ y \sim\sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x $$
これでは$y$が有界という条件に反するため、結局$n - \alpha$は非負整数でなくてはならない。
次に、式（15）が式（12）と定数倍を除いて一致していることをみる。
式（12）と同値の式（13）の係数を$d_{n, \alpha, j}$と書くことにすると:
$$ d_{n, p, j} := \frac{(-1)^{j + p} n!}{(n - (j + p))! (j + p)! j!} $$
$$ \frac{d_{n, p, j + 1}}{d_{n, p, j}} = \frac{(-1) (n - (j + p))}{(j + 1)(j + p + 1)} $$
これは式（15）と一致している。よって、式（15）が式（12）と定数倍を除いて一致していることが示せた。
別の流儀: 英語版WikipediaやWolframなど:
$$ x y'' + (\alpha + 1 - x) y' + n y = 0 $$
$$ S_{n \alpha} := (-1)^\alpha \partial^\alpha S_{n + \alpha} (x) \tag{16} $$
上式の定義を使う場合はgeneralized Laguerre polynomialやSonin polynomialと呼ばれることが多いようだ。こうすると$S_{n \alpha}$がいつでも$n$次の多項式になるのは利点に思う。
$(-1)^\alpha$がついているのは、0次の展開係数を（定数項）を必ず正の符号にする効果を目的としている。
式（12）の$L$を（Soninの多項式でなくLaguerre陪多項式であることを強調して$A$と書くと）:
$$ A_{n \alpha} (x) = (-1)^\alpha \bar{L}_{n - \alpha, \alpha} (x) $$
Muto-2010も式$S$をLaguerreの陪多項式と呼んでいる。Okazaki-1983での定義は$A$。