<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 閉区間$[a, b]$について
$$ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b $$
なる数列$x_n$を区間の分割という。
$$ \Delta x_n := x_{n+1} - x_n $$
と書く。以下を分割の大きさと呼ぶ:
$$ \max_{n = 0, \ldots, N-1} \Delta x_n $$
更に
$$ x_n < t_n < x_{n + 1} $$
を満たす数列$t_n$（$n=0, \ldots, N-1$）があるとき、数列$x_n$、数列$t_n$のペアを点付き分割と呼ぶ。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_green.svg" alt="/icons/checkmark_green.svg" width="40px" /> 区間$[a, b]$上で定義された関数$f(x)$について、ある実数$s$があり、任意の$\epsilon > 0$に対してある$\delta$がとれて、任意の大きさが$\delta$以下の$[a, b]$の点付き分割$a_n, t_n$について
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n - s \right| < \epsilon $$
とできるとき、$s$を（リーマン積分の）積分値と呼び以下で表す:
$$ s = \int_a^b f(x) dx $$
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上積分、下積分の議論（ダルブーの定理）は、なくても困らないそうなので省くことにした。
<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 区間$[0, 1]$上で、有理数の場合に$1$、無理数の場合に$0$をとる関数は、リーマン可積分でない（ディリクレの関数と呼ばれる）。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 関数の連続性についての例で取り上げた関数は、区間$[0, 1]$上で、リーマン可積分で、積分値は0。
証明: $q$を任意の自然数とする。区間$[0, 1]$で$1/q$より大きな値をとるものは有限個しかないので、この個数を$k$とする。区間幅$1/qk$以下の任意の点付き分割
$$ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b \\ x_n < t_n < x_{n + 1} \quad (n = 0, \ldots, N - 1) $$
を考える。数列$t_n$の中で$f(t_n) > 1/q$となるのが$l$個あるとすると、$l \le k$で:
$$ \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n &= \sum_{f(t_n) > 1/q} f(t_n) \Delta x_n + \sum_{f(t_n) \le 1/q} f(t_n) \Delta x_n \\ &= \sum_{f(t_n) > 1/q} 1 \Delta x_n + \sum_{f(t_n) \le 1/q} \frac{1}{q} \Delta x_n \\ &< \sum_{f(t_n) > 1/q} 1 \Delta x_n + \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{q} \Delta x_n \\ &< l \cdot 1 \cdot \frac{1}{qk} + \frac{1}{q} \\ &\le \frac{2}{q} \end{aligned} $$
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 有界でない関数はリーマン可積分でない。
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 上に有界でない場合で考える（下に有界でない場合も同様に示せる）。ある点付き分割$x_n, t_n$を考える。これについて、数列$t_n$を取り直して別の点付き分割$x_n, t'_n$を考えると
$$ \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t'n) \Delta x_n > \sum{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n + 1 $$
が示せれば十分（1の部分は他の数でもよい）。以下でこれを示す。
$$ S :=\sum_{n = 0}^{N - 1} \Delta x_n f(t_n) $$
$$ M := \max \{ f(t_n) \mid n = 1, \ldots, N -1 \} $$
$$ L := \min \{ \Delta x_n \mid n = 1, \ldots, N -1 \} $$
と書く。関数$f(x)$は上に有界でないため、ある$a$があって
$$ f(a) > \frac{1 + ML}{L} $$
とできる。この$a$が入っている区間の番号を$j$と書く（$x_j < a < x_{j + 1}$）。ここで数列$t_n$から$j$番目だけを$t_j \to a$を変えたものを$t'_n$すると:
$$ \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t'_n) \Delta x_n = S - f(t_j) \Delta x_j + f(a) \Delta x_j \\
S + \left(\frac{1+ML}{L} - f(t_j) \right)\Delta x_j $$
第2項は:
$$ (1 + ML - L f(x_j) ) \frac{\Delta x_j}{L} \ge \frac{\Delta x_j}{L} \ge 1 $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 有界でない関数の例:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} \quad & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $$
区間$[0, 1]$での積分を考える。点付き分割$x_n, t_n$を考える。例えば
$$ t_1 = x_1^4 $$
とすると:
$$ \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n \ge f(t_1) \Delta x_1 = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{\Delta x_1} $$
よって、このように$t_1$をとる分割については、分割の大きさを小さくすればするほど上式最左辺は大きくなっていってしまう。よって可積分ではない。
これは、以下の通り広義積分は可能:
$$ \int_0^1 f(x) dx = \left[ 2 \sqrt{x}\right]_0^1 = 2 $$
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 区間加法性: $a < b < c$として、関数$f(x)$が区間$[a, b]$及び区間$[b, c]$で可積分の時:
$$ \int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 任意に$\epsilon > 0$をとる。
ある$\delta$があり、任意の大きさが$\delta$以下の任意の分割$x_n^{(1)}, t_n^{(1)}$、$x_n^{(2)}, t_n^{(2)}$（それぞれ$[a, b]$、$[b, c]$の分割）に対して:
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N^{(1)} - 1} f(t^{(1)}_n) \Delta x^{(1)}_n - \int_a^b f(x) dx \right| < \frac{\epsilon}{3} \tag{A} $$
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N^{(2)} - 1} f(t^{(2)}_n) \Delta x^{(2)}_n - \int_b^c f(x) dx \right| < \frac{\epsilon}{3} \tag{B} $$
前述の定理より$[a, c]$で$f(x)$は有界なので
$$ M := \sup \{|f(x)| \mid a \le x \le c \} $$
が存在する。分割幅が
$$ \delta' :=\min \left\{ \delta, \frac{\epsilon}{6M} \right\} $$
以下の任意の任意の$[a, c]$の分割$x_n, t_n$をとる。ある$j$があり$x_j < b\le x_{j+1}$となる。
まず$x_j < b < x_{j+1}$の場合を考える。
$$ \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n = \sum_{n = 0}^{j - 1} f(t_n) \Delta x_n + f(t_j) \Delta x_j + \sum_{n = j+1}^N f(t_n) \Delta x_n \tag{C} $$
ここで$x_j < t_j' < b$、$b < t_j'' < x_{j+1}$を満たす$t', t''$をとると
$$ |f(t_j) \Delta x_j -[ f(t'j) (b - x_j) + f(t''j)(x{j+1} - b)]| \\ = |(f(t_j) - f(t'j))(b - x_j) + (f(t_j) - f(t''j))(x{j+1} - b)| \\ \le M \delta' + M \delta' \le 2M \frac{\epsilon}{6M} = \frac{\epsilon}{3} \tag{D} $$
式（C）、式（D）より、ある大きさが$\delta$以下の分割$x_n^{(1)}, t_n^{(1)}$、$x_n^{(2)}, t_n^{(2)}$（それぞれ$[a, b]$、$[b, c]$の分割）があって:
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n - \left( \sum_{n = 0}^{N^{(1)} - 1} f(t^{(1)}_n) \Delta x^{(1)}n \right) - \left( \sum{n = 0}^{N^{(2)} - 1} f(t^{(2)}_n) \Delta x^{(2)}_n \right) \right| \\< \frac{\epsilon}{3} \tag{E} $$
これと式（A）、式（B）より:
$$ \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} f(t_n) \Delta x_n - \int_a^b f(x) dx - \int_b^c f(x) dx\right| < \epsilon \tag{F} $$
$b = x_{j+1}$の場合でも、式（C）の右辺最初の2項が$[a, b]$の分割になっているので、式（E）が満たされる（左辺がゼロとなる）。よって式（F）が成り立つ。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 関数$f(x), g(x)$が区間$[a, b]$で可積分の時、$\alpha, \beta$を実数として:
$$ \int_a^b [ \alpha f(x) + \beta g(x) ] dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 略（点付き分割で考えて、その線形性より示せる）。
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<aside> <img src="/icons/checkmark_lightgray.svg" alt="/icons/checkmark_lightgray.svg" width="40px" /> 関数$f(x), g(x)$が区間$[a, b]$で、可積分かつ
$$ f(x) \le g(x) $$
のとき:
$$ \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx $$
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<aside> <img src="/icons/pencil_lightgray.svg" alt="/icons/pencil_lightgray.svg" width="40px" /> 証明: 略（点付き分割で考えて、その線形性より示せる）。
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